عالم كرة السلة

2025-09-03 00:09:30دمشق

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،وتتكونمنجزأين:جزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغةالتالية:الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

a+bi

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،حيثi²=-1

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

لماذانستخدمالأعدادالمركبة؟

ظهرتالحاجةإلىالأعدادالمركبةلحلالمعادلاتالتيليسلهاحلفيمجموعةالأعدادالحقيقية،مثلالمعادلة:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

x²+1=0

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

حيثلايوجدعددحقيقييُمكنأنيكونحلاًلهذهالمعادلة،لأنمربعأيعددحقيقييكوندائمًاموجبًا.لكنباستخدامالوحدةالتخيليةi،يصبحالحل:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

x=±i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2.الضرب

لضربعددينمركبين،نستخدمخاصيةالتوزيعونأخذفيالاعتبارأنi²=-1:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3.القسمة

لقسمةعددينمركبين،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالوحدةالتخيليةمنالمقام:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/(c²+d²)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركبa+biكنقطةفيالمستوىالإحداثي،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي(a)
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي(b)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

هذاالتمثيليُعرفباسممستوىالأعدادالمركبةأومستوىأرغاند.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

القيمةالمطلقةوالزاوية

لكلعددمركبa+bi،يمكنحساب:
-القيمةالمطلقة(المقياس):|z|=√(a²+b²)
-الزاوية(الطور):θ=arctan(b/a)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

ويمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

z=r(cosθ+isinθ)

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

حيثrهيالقيمةالمطلقةوθهيالزاوية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

تطبيقاتالأعدادالمركبة

تستخدمالأعدادالمركبةفيالعديدمنالمجالات،مثل:
-الهندسةالكهربائية:تحليلالدوائرالكهربائية
-الفيزياء:دراسةالموجاتوالاهتزازات
-الرسوماتالحاسوبية:تحويلاتفورييه
-الاقتصاد:نمذجةالتغيراتالدورية

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

الخاتمة

الأعدادالمركبةهيأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.علىالرغممنأنهاقدتبدومعقدةفيالبداية،إلاأنفهمأساسياتهايُمكنأنيفتحأبوابًاجديدةلفهمالرياضياتوالعلومبشكلأعمق.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

مقدمةعنالأعدادالمركبة

الأعدادالمركبة(الأعدادالعقدية)هيأعدادرياضيةتمثلامتدادًاللأعدادالحقيقية،حيثتتكونمنجزءحقيقيوجزءتخيلي.تُكتبالأعدادالمركبةعادةًبالصيغة:

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

[z=a+bi]

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

حيث:
-aهوالجزءالحقيقي
-bهوالجزءالتخيلي
-iهيالوحدةالتخيلية،وتُعرفبأنهاالجذرالتربيعيللعدد-1(أي(i^2=-1))

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

أهميةالأعدادالمركبة

تلعبالأعدادالمركبةدورًاحيويًافيالعديدمنالمجالاتمثل:
-الهندسةالكهربائية:تُستخدمفيتحليلالدوائرالكهربائيةوالموجاتالكهرومغناطيسية.
-الفيزياء:تساعدفيحلالمعادلاتالتفاضليةوتمثيلالظواهرالموجية.
-علومالحاسوب:تُستخدمفيمعالجةالإشاراتالرقميةوالرسوماتالحاسوبية.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

العملياتالأساسيةعلىالأعدادالمركبة

1.الجمعوالطرح

لجمعأوطرحعددينمركبين،نجمعأونطرحالأجزاءالحقيقيةوالتخيليةبشكلمنفصل:
[(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i]

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

2.الضرب

يتمضربالأعدادالمركبةباستخدامخاصيةالتوزيعمعالأخذفيالاعتبارأن(i^2=-1):
[(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i]

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

3.القسمة

للقسمة،نضربالبسطوالمقامفيمرافقالمقاملإزالةالجزءالتخيليمنالمقام:
[\frac{ a+bi}{ c+di}=\frac{ (a+bi)(c-di)}{ c^2+d^2}]

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

التمثيلالهندسيللأعدادالمركبة

يمكنتمثيلالعددالمركب(z=a+bi)كنقطةفيالمستوىالإحداثي(يُسمىالمستوىالمركب)،حيث:
-المحورالأفقييمثلالجزءالحقيقي.
-المحورالرأسييمثلالجزءالتخيلي.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

كمايمكنالتعبيرعنالعددالمركبباستخدامالصيغةالقطبية:
[z=r(\cos\theta+i\sin\theta)]
حيث:
-rهوالمقدار(المعيار)ويُحسببـ(r=\sqrt{ a^2+b^2}).
-θهيالزاوية(الطور)وتُحسببـ(\theta=\arctan\left(\frac{ b}{ a}\right)).

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط

خاتمة

الأعدادالمركبةأداةرياضيةقويةتُستخدمفيالعديدمنالتطبيقاتالعلميةوالهندسية.فهمهايتطلبإدراكالعلاقةبينالأجزاءالحقيقيةوالتخيلية،بالإضافةإلىإتقانالعملياتالأساسيةعليها.بدراسةالأعدادالمركبة،يمكنحلمسائلمعقدةفيالفيزياءوالهندسةبطرقأكثركفاءة.

الأعدادالمركبةشرحشاملومبسط